Binär - Dezimal Umrechner

Mit diesem Rechner lässt sich eine Zahl vom Dezimalsystem in das Binärsystem (oder umgekehrt) umrechnen. Das Ergebnis wird inklusive Rechenweg angezeigt.

binär in dezimal umrechnen

Um eine Zahl aus dem Binärsystem in das Dezimalsystem umzuwandeln, muss die letzte Ziffer mit 2⁰ multipliziert werden, die vorletzte Ziffer mit 2¹, die drittletzte mit 2² usw.. Danach wird von den Ergebnissen die Summe gebildet.

Wenn zum Beispiel 110101₂ vom Binärsystem in das Dezimalsystem umgerechnet werden soll, dann rechnet man:

110101₂	≙	1 ∙ 2⁵ + 1 ∙ 2⁴ + 0 ∙ 2³ + 1 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰
	=	32 + 16 + 4 + 1
	=	53

Binärzahlen mit Komma umwandeln:

Um eine Kommazahl vom Binärsystem in das Dezimalsystem umzuwandeln, wird mit den Vorkommastellen so wie oben beschrieben gerechnet. Bei den Nachkommastellen wird die vorderste Nachkommastelle mit 2^-1 = 0,5 multipliziert, die zweite mit 2^-2 = 0,25, die dritte mit 2^-3 = 0,125 und so weiter.

Wenn zum Beispiel 1,011₂ in das Dezimalsystem umgewandelt werden soll, rechnet man:

1,011₂	≙	1 ∙ 2⁰ + 0 ∙ 2^-1 + 1 ∙ 2^-2 + 1 ∙ 2^-3
	=	1 + 0,25 + 0,125
	=	1,375

dezimal in binär umrechnen

Um eine Zahl vom Dezimalsystem in das Binärsystem umzurechnen kann man die Zahl entweder wiederholt mit Rest durch 2 teilen oder man nutzt 2er-Potenzen.

durch 2 teilen:

Bei dieser Methode teilt man die Zahl mit Rest durch 2. Den Rest merkt man sich für das Ergebnis und den ganzzahligen Teil vom Quotienten teilt man wieder mit Rest durch 2. Dies macht man so lange, bis als ganzzahliger Teil eine 0 herauskommt. Das Ergebnis sind dann die Reste von unten nach oben gelesen.

Als Beispiel soll 22₁₀ in das Binärsystem umgerechnet werden. Die Rechnung sieht wie folgt aus:

22	:	2	=	11	R	0
11	:	2	=	5	R	1
5	:	2	=	2	R	1
2	:	2	=	1	R	0
1	:	2	=	0	R	1

Es gilt also: 22₁₀ ≙ 10110₂

Kommazahlen nach binär umwandeln:

Um Zahlen mit Komma vom Dezimalsystem in das Binärsystem umzuwandeln, muss die Zahl in einen Vorkommateil und einen Nachkommateil aufgespalten werden. Wenn zum Beispiel die Zahl 22,375₁₀ in das Binärsystem umgewandelt werden soll, dann wird die Zahl in 22 und 0,375 aufgeteilt. Die 22 lässt sich wie oben beschrieben umrechnen. Man erhält also für den Vorkommateil 22₁₀ ≙ 10110₂.

Um den Nachkommaanteil umzuwandeln wird der Nachkommateil mit 2 multipliziert. Wenn das Produkt nicht ganzzahlig ist, wird der Nachkommateil vom Produkt wieder mit 2 multipliziert. Das wird so lange gemacht, bis entweder das Produkt ganzzahlig ist oder bis man genug Nachkommastellen berechnet hat. Das Ergebnis sind von den Produkten die Ziffern, die vor dem Komma stehen, von oben nach unten gelesen.

Um 0,375 nach binär umzuwandeln berechnet man also:

0,375	∙	2	=	0,750
0,75	∙	2	=	1,50
0,5	∙	2	=	1,0

Es gilt also: 0,375₁₀ ≙ 0,011₂

Jetzt muss nur noch der Vorkommateil und der Nachkommateil wieder zusammengesetzt werden:

22,375₁₀ ≙ 10110,011₂

mit 2er-Potenzen:

Es soll wieder als Beispiel die 22 in das Binärsystem umgewandelt werden.

Um eine Zahl mit der Hilfe von 2er-Potenzen von dezimal nach binär umgewandelt zu werden, muss zuerst die größte 2er-Potenz ermittelt werden, die kleiner oder gleich der Zahl ist, die umgerechnet werden soll. Die größte 2er-Potenz, die kleiner oder gleich 22 ist, ist 2⁴ = 16.

Als nächstes werden beginnend mit der ermittelten 2er-Potenz nacheinander in absteigender Reihenfolge alle 2er Potenzen bis einschließlich 2⁰ mit dem verglichen, was in der jeweiligen Iteration noch von der umzuwandelnden Zahl übrig ist. Wenn die 2er-Potenz größer ist, wird an die Lösung eine 0 angehängt. Ansonsten wird an die Lösung eine 1 angehängt und die umzuwandelnde Zahl wird um den Potenzwert verringert.

Es wird also zuerst die 2⁴ = 16 mit der 22 verglichen. Die 16 ist kleiner und somit wird eine 1 in die Lösung geschrieben und von der 22 wird 16 abgezogen. Es bleiben also noch 6.

Als nächstes wird die 6 mit 2³ = 8 verglichen. Da die 8 größer ist, wird eine 0 an die Lösung angehängt.

Dann wird die 6 mit 2² = 4 verglichen. Die 4 ist kleiner und somit wird eine 1 an die Lösung angehängt und von der 6 werden 4 abgezogen. Übrig bleibt 2.

Danach wird die 2 mit 2¹ = 2 verglichen. Da beide Zahlen gleich groß sind, wird eine 1 an die Lösung angehängt und es wird von der 2 2 abgezogen.

2⁰ = 1 ist größer als 0 und somit wird eine 0 an die Lösung angehängt.

Es gilt also 22₁₀ ≙ 10110₂.

mit 2er-Potenzen und Kommazahlen:

Als Beispiel soll wieder die Zahl 22,375 in das Binärsystem umgerechnet werden.

Zuerst muss die Zahl in einen Vorkommateil und einen Nachkommateil aufgespalten werden. Die Zahl wird also aufgeteilt in 22 und 0,375. Die 22 wird wie oben beschrieben umgewandelt.

Um den Nachkommateil umzuwandeln, wird sehr ähnlich verfahren, wie für den Vorkommateil. Diesmal wird aber die umzuwandelnde Zahl bzw. das, was von ihr noch übrig ist, zuerst mit 2^-1, dann mit 2^-2, dann mit 2^-3 und so weiter verglichen. Wenn die 2er-Potenz größer ist, wird wieder eine 0 an die Lösung angehängt. Ansonsten wird eine 1 angehängt und die 2er-Potenz wird von der Zahl abgezogen.

Es werden also zuerst die 0,375 mit der 2^-1 = 0,5 verglichen. 0,5 ist größer und somit wird an das Ergebnis eine 0 angehängt.

Danach wird die 0,375 mit 2^-2 = 0,25 verglichen. 0,25 ist kleiner und somit wird eine 1 zu der Lösung hinzugefügt und 0,375 wird um 0,25 verringert. Man erhält somit 0,125.

Als nächstes wird die 0,125 mit 2^-3 = 0,125 verglichen. Es wird eine 1 an die Lösung angehängt und da 0,125 - 0,125 = 0 ergibt, ist die Berechnung der Nachkommastellen fertig.