Zahlensysteme Umrechner

Mit diesem Rechner lassen sich Zahlen von einem Zahlensystem in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umrechnen.

Umwandlung ins Dezimalsystem

Um eine Zahl aus einem Zahlensystem mit beliebiger Basis b in das Dezimalsystem (Basis 10) umzuwandeln, muss die letzte Ziffer mit b⁰, die vorletzte Ziffer mit b¹, die drittletzte Ziffer mit b² usw. multipliziert werden und von den Ergebnissen muss die Summe gebildet werden.

Angenommen die Zahl 3164₅ soll vom 5er-System ins Dezimalsystem umgewandelt werden. Dann berechnet man:

Kommazahlen in Dezimalsystem umrechnen:

Wenn es sich bei der Zahl, die in das Dezimalsystem umgerechnet werden soll um eine Kommazahl handelt, wird mit den Vorkommastellen wie oben beschrieben verfahren. Bei den Nachkommastellen wird die erste Ziffer nach dem Komma mit b^-1 multipliziert, die zweite mit b^-2, die dritte mit b^-3 usw.. Von den Ergebnissen wird die Summe gebildet und zu dem hinzuaddiert, was man für die Vorkommestellen erhalten hat.

Als Beispiel soll die Zahl 3,124₅ vom 5er-System in das Dezimalsystem umgerechnet werden:

Dezimalsystem in anderes Zahlensystem umrechnen

Es gibt mehrere Methoden, um eine Zahl vom Dezimalsystem in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis b umzurechnen. Dies kann entweder durch das wiederholte Teilen durch die Basis erreicht werden oder mit der Hilfe von Potenzen der Basis.

Durch Basis teilen:

Bei dieser Methode wird die Zahl mit Rest durch die Basis b geteilt. Der Rest wird sich gemerkt und der ganzzahlige Teil vom Ergebnis wird wieder mit Rest durch b geteilt. Dies wird so lange gemacht, bis der ganzzahlige Teil vom Ergebnis 0 beträgt.

Als Beispiel soll die Zahl 414 vom Dezimalsystem in das 5er-System umgewandelt werden.

Nun müssen nur noch die Reste von unten nach oben aneinander gehängt werden. Somit ergibt sich im Beispiel, dass 414 im Dezimalsystem 3124 im 5er-System entspricht.

Basis vom Ziel-Zahlensystem größer als 10:

Wenn die Basis von dem Zahlensystem, in welches die Zahl umgewandelt werden soll, größer als 10 ist, kann es passieren, dass beim Rest eine Zahl größer als 9 herauskommt. In diesem Fall wird nicht die Zahl an die Lösung angehängt, sondern der Buchstabe, der diese Zahl repräsentiert. Zum Beispiel wird beim 16er-Zahlensystem statt einer 10 ein A, statt einer 11 ein B, statt einer 12 ein C, statt einer 13 ein D, statt einer 14 ein E und statt einer 15 ein F angehängt.

Als Beispiel soll 60₁₀ in das 16er-System umgewandelt werden.

Die 12 ist größer als 9 und muss des deshalb in den Buchstaben umgewandelt werden, der die 12 repräsentiert. Also in C.

Somit entspricht 60₁₀ im Dezimalsystem 3C₁₆ im Hexadezimalsystem.

Umwandlung von Zahlen mit Komma:

Als Beispiel soll die Zahl 7,56 in das 5er-System umgewandelt werden. Um eine Zahl mit Komma aus dem Dezimalsystem in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umzuwandeln, muss die Zahl als erstes in einen Vorkommaanteil und einen Nachkommaanteil aufgeteilt werden. Die 7,56 wird also aufgeteilt in 7 und 0,56. Als erstes wird die 7 oben beschrieben ins 5er-System umgewandelt und man erhält 7₁₀ ≙ 12₅.

Als nächstes sollen die Nachkommastellen umgewandelt werden. Dafür multipliziert man den Nachkommaanteil mit der Basis (also in dem Fall 5). Von dem, was heraus kommt, hängt man das, was vor dem Komma steht, hinten an die Lösung an und den Nachkommaanteil multipliziert man wieder mit der Basis. Dies macht man so lange, bis das Ergebnis der Mulitplikation ganzzahlig ist.

Nun müssen nur noch die umgewandelten Vor- und Nachkommastellen aneinander gehängt werden:

Mit Potenzen:

Um zu zeigen, wie Zahlen aus dem Dezimalsystem mit der Hilfe von Potenzen in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis konvertiert werden, soll wieder die 414 aus dem 10er-System in das 5er-System umgewandelt werden.

Zuerst muss die größte 5er-Potenz gefunden werden, die kleiner oder gleich 414. Das ist 5³ = 125.

Als nächstes wird ermittelt, wie häufig die 125 in die 414 passt. Das sind 3 mal.

Die 3 ist nun die erste Ziffer, die man in das Ergebnis schreibt. Nun multipliziert man die 125 und die 3 und zieht das Produkt von der 414 ab. Man erhält also: 414 - 3 ∙ 125 = 414 - 375 = 39

Als nächstes ermittelt man, wie häufig 5² = 25 in die 39 passt. Das sind 1 mal. Also hängt man die 1 an die Lösung an und zieht 1 ∙ 25 von der 39 ab.

Danach macht man das Gleiche mit 5¹ = 5 und 5⁰ = 1. Der gesamte Rechenweg sieht wie folgt aus:

Kommazahlen mit Potenzen umwandeln:

Als Beispiel soll die Zahl 414,312₁₀ vom Dezimalsystem in das 5er-System umgewandelt werden.

Um eine Zahl mit Komma aus dem Dezimalsystem in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis b mit der Hilfe von Potenzen zu konvertieren, muss die Zahl als erstes in einen Vorkommateil und einen Nachkommateil aufgeteilt werden. Im Beispiel sind das 414 und 0,312.

Der Vorkommateil wird so wie oben in das 5er-System umgewandelt und somit erhält man 414₁₀ ≙ 3124₅.

Die Umwandlung des Nachkommateils funktioniert sehr ähnlich wie die Umwandlung des Vorkommateils. Diesmal wird sich aber zuerst angesehen, wie häufig 5^-1 = 0,2 in die 0,312 passt. Das sind 1 mal. Also ist die 1 die erste Nachkommastelle der Lösung und es muss 0,312 - 1 ∙ 0,2 berechnet werden. Das ist 0,112.

Als nächstes wird berechnet, wie häufig 5^-2 = 0,04 in die 0,112 passt. Nach diesem Schema wird weitergerechnet, bis entweder bei der Subtraktion eine 0 herauskommt oder bis die maximale Anzahl an Nachkommastellen, die man berechnen möchte erreich ist. Die gesamte Berechnung für den Nachkommaanteil sieht wie folgt aus:

Wenn man nun die Ergebnisse vom Vorkommateil und vom Nachkommateil zusammensetzt erhält man:

414,312₁₀ ≙ 3124,124₅

Basis vom Quell- und Ziel-Zahlensystem beliebig

In den obigen Abschnitten hatte immer entweder das Quell-Zahlensystem oder das Ziel-Zahlensystem die Basis 10. Wenn weder das Quell-Zahlensystem noch das Ziel-Zahlensystem die Basis 10 hat, wird die Zahl zuerst vom Quell-Zahlensystem in das Dezimalsystem umgewandelt und danach wird die Zahl vom Dezimalsystem in das Ziel-Zahlensystem umgewandelt.

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• Zahlensysteme und deren Umrechnung